怎么证互为反函数的两个函数的单调性一致

f(x)在其定义域上是单调递增函数，求证它的反函数也是增函数

任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1<x2
则存在x'1,x'2 ∈[a，b]，使得f(x'1)=x1，f(x'2)=x2
因为f(x)在[a,b]内是增函数
所以函数值越大，自变量越大
由x1<x2可得，x'1<x'2，x1'-x2'<0
又由反函数的性质可知，f-1(x1)=x1'，f-1(x2)=x2'
所以f-1(x1)-f-1(x2)=x1'-x2'<0
f-1(x1)<f-1(x2)
所以函数f-1(x)在[f(a),f(b)]内也是增函数

用单调性的定义来证明,反证法

f(x)单调递增函数x1>x2则f(x1)>f(x2)

如果f(x1)>f(x2), x1不大于x2都与“单调递增x1>x2则f(x1)>f(x2)”矛盾

所以假设不成立，反函数也单调递增函数

函数与其反函数关于直线Y=X对称。所以若原函数单调递增。则反函数也单调递增。

设y=f(x)的反函数一般记为y=g(x), 不妨设y=f(x)单调增加，则对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2有 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0。 根据反函数定义，我们可知对于函数g(x)有 (x1-x2)[g(x1)-g(x2)]=[f(y1)-f(y2)](y1-y2)＞0。 所以函数f(x)的反函数g(x)也一定单调增加。