高中数学数列求和竞赛题

高中数学数列求和竞赛题
已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“不傻的”,现将n-2只老鼠从同一地点释放令其走,隔一秒释放一只.求第n秒时“傻的”和“不傻的”老鼠数量之比

假定1只老鼠从0秒释放,到k秒时在原点和另外两点的概率分别为数列{ak}和{bk}.
显然k=0时 a0=1 b0=0
k=1时 a1=0 b1=1/2
.
k+1秒时
a(k+1)=bk/2+bk/2=bk .(1)
b(k+1)=ak/2+bk/2 .(2)
由式(1)(2)可得
a(k+2)=a(k+1)/2+ak/2 .(3)
式（3）的特征方程为
2λ²-λ-1=0
解得特征根为λ1=-1/2 λ2=1
{ak}的通项式可表示为
ak=C1*(-1/2)^k+C2
a0=C1+C2=1
a1=-C1/2+C2=0
解得C1=2/3 C2=1/3
ak=(2/3)*(-1/2)^k+1/3
一共有n-2只老鼠,第1只释放的老鼠到t=n秒时的时间为k=n,第n-2只老鼠释放到t=n秒时还有3秒,即k=3.
因此在t=n秒时,在原点老鼠的概率数为：
Sn=(k=3,n) ∑ak=n/3-[(-2)^(-n+1)]/9-13/18
不在原点的老鼠的概率数为
n-2 –Sn= 2n/3+[(-2)^(-n+1)]/9-23/18
它们的比例为Sn/[n-2-Sn]