已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(22，0)两点．（1）求椭圆E的方程；（2）

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2



2 ，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．

（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将M(2，1)，N(2



2 ，0)代入椭圆E的方程，得







4m+n＝1
8m＝1
解得m＝
1
8 ，n＝
1
2 ，所以椭圆E的方程为
x2
8 +
y2
2 ＝1．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又kOM＝
1
2 ，
∴直线l的方程为y＝
1
2 x+b．
由







y＝
1
2 x+b

x2
8 +
y2
2 ＝1 得x2+2bx+2b2-4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝?2b，x1x2＝2b2?4．
又k1＝
y1?1
x1?2 ，k2＝
y2?1
x2?2 ，
故k1+k2＝
y1?1
x1?2 +
y2?1
x2?2 =
(y1?1)(x2?2)+(y2?1)(x1?2)
(x1?2)(x2?2) ．
又y1＝
1
2 x1+b，y2＝
1
2 x2+b，
所以上式分子=(
1
2 x1+b?1)(x2?2)+(
1
2 x2+b?1)(x1?2)
=x1x2+(b?2)(x1+x2)?4(b?1)＝2b2?4+(b?2)(?2b)?4(b?1)＝0
故k1+k2=0．

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