已知任意三角形的三条边长,如何求三角形面积?是否有通用公式?

已知任意三角形的三条边长,如何求三角形面积?是否有通用公式?

海伦定理海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s：s=\frac{a+b+c}{2} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.[编辑]证明 与海伦在他的着作Metrica中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为 \cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 从而有 \sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab} 因此三角形的面积S为 S = \frac{1}{2}ab \sin(C) = \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出.你也可以在百度上搜索“海伦定理”查找有关资料======以下答案可供参考======供参考答案1:先用余弦定理求出一个角度再用正弦定理求面积供参考答案2:先求出三角形的半周长(a+b+c）/2（a，b，c为三边）设他的半周长为x面积为：根号（x*（x-a)*(x-b)*(x-c))供参考答案3:嗯，可以用角度的话，就直接用余弦定理求角度，然后广义勾股定理就可以了当然，也可以用海伦公式：设三边长为a、b、c，则s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p为半周长p=(a+b+c)/2供参考答案4:已知三角形的三边分别是a、b、c，先算出周长的一半s=1/2(a+b+c)则该三角形面积S=根号[s(s-a)(s-b)(s-c)]这个公式叫海伦——秦九昭公式证明： 设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则根据余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC,得cosC = (a²+b²-c²)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos²C)=1/2*ab*√[1-(a²+b²-c²)²/4a²b²]=1/4*√[4a²b²-(a²+b²-c²)²]=1/4*√[(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)]=1/4*√{[(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]}=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设s=(a+b+c)/2则s=(a+b+c), s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b

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