已知椭圆x²/36+x²/9=1，求以点P（4,2）为中点的弦所在的直线方程？

已知椭圆x²/36+x²/9=1，求以点P（4,2）为中点的弦所在的直线方程？

把点P代入椭圆方程得
16/36+4/9
=16/36+16/36
=32/36<1
所以点P在椭圆内
设过点P的直线方程是
y-2=k(x-4)
y=k(x-4)+2
代入椭圆方程得
x^2/36+[k(x-4)+2]^2/9=1
x^2+4(k^2(x-4)^2+4k(x-4)+4)=36
x^2+4(k^2x^2-8k^2x+16k^2+4kx-16+4)-36=0
x^2+4(k^2x^2-(8k^2-4k)x+16k^2-12)-36=0
x^2+4k^2x^2-4(8k^2-4k)x+64k^2-48-36=0
(1+4k^2)x^2-(32k^2-16k)x+64k^2-84=0
x1+x2=(32k^2-16k)/(1+4k^2)
(x1+x2)/2=(16k^2-8k)/(1+4k^2)=4
16k^2-8k=4+16k^2
k=-1/2
所以直线方程是y=-1/2(x-4)+2
=-1/2x+2+2
=-x/2+4

设弦的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)，∴x1+x2=8 y1+y2=4
由椭圆方程x²/36+y²/9=1得： x1²/36+y1²/9=1，x2²/36+y2²/9=1
两个式子相减得到： (x1-x2)(x1+x2)/36+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
即： 8(x1-x2)/36=-4(y1-y2)/9
∴ K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
∴ 所求直线方程是y-2=(-1/2)(x-4)，即x+2y-8=0

解：设弦的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)
椭圆方程为x²/36+y²/9=1
即 x²+4y²=36
∴ x1+x2=8,y1+y2=4
A，B都在椭圆上
∴ x1²+4y1²=36 --------①
x2+4y2²=36 --------②
①-②
(x1²-x2²)+4(y1²-y2²)=0
∴ x1²-x2²=-4(y1²-y2²)
∴ (x1-x2)(x1+x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)
∴ 8(x1-x2)=-4*4(y1-y2)
∴ K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=8/(-16)=-1/2
∴ 所求直线方程是y-2=(-1/2)(x-4)
化简得 x+2y-8=0