证明任意一个完全平方数必能表示为4n或4n+1的形式，并也能表示成9n或3n+1的形式

谢谢！

设完全平方数m=k&sup2
若k是偶数，则可令k=2a，那么m=k&sup2=4a&sup2. 令n=a&sup2，则m=4n；
若k是奇数，则可令k=2a+1，那么m=k&sup2=4a&sup2+4a+1. 令n=a&sup2+a，则m=4n+1.
另一方面，若k是3的倍数，则可令k=3a，那么m=k&sup2=9a&sup2. 令n=a&sup2，则m=9n.
若k=3a+1，那么m=9a&sup2+6a+1. 令n=3a&sup2+2a，则m=3n+1.
若k=3a+2，那么m=9a&sup2+12a+4. 令n=3a&sup2+4a+1，则m=3n+1.

若n=2k，则n^2=4k^2；若n=2k+1，则n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1。所以n^2可表成4n或4n+1的形式。 n≡0,1,2(mod3)，则n^2≡0或1(mod9)，即n^2可表成9n或9n+1的形式。

（1*2*4+2*4*8+...+n*2n*4n）/（1*3*9+2*6*18+...+n*3n*9n）
=1*2*4*（1+2+……+n)/【1*3*9*（1+2+……n）】
=1*2*4/（1*3*9）
=8/27