已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值

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解决时间 2021-02-16 04:24

提问者网友：人生佛魔见
2021-02-15 16:17

RT

已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值

速度谢谢

最佳答案

五星知识达人网友：雾月
2021-02-15 17:08

已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值
RT

已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值

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解答：

x∈[-π/4,π/4],
另t=sinx∈[-0.5√2，0.5√2]
显然f(x)=cos^2x+sinx＝1－sin^2x+sinx
又g(t)=f(x)=1-t^2+t∈[g(-0.5√2),g(0.5)]
所以min f(x)=g(-0.5√2)=(√2+1)/2

祝愿楼主学习进步呵呵

全部回答

1楼网友：空山清雨
2021-02-15 19:12

f(x)=cos^2x+sinx =1-sin^2x+sinx sinx=t -1/√2≤t≤1/√2 f(t)=1-t^2+t=-t^2+t-1/4+5/4=-(t-1/2)^2+5/4 f(t)开口向下，对称轴 t =1/2 t= -1/√2时，函数f(t)有最小值最小值 1-1/2-1/√2=1/2-1/√2

2楼网友：你可爱的野爹
2021-02-15 18:19

f(x)=1-sin²x+sinx x属于[-π/4,π/4]，因此-根号2/2≤sinx≤根号2/2 令t=sinx,则原函数化为g(t)=-t²+t+1,-根号2/2≤t≤根号2/2,题目转化为求g(t)的最小值问题 g(t)=-(t-1/2)²+5/4 在[-根号2/2,1/2]上为增函数，在[1/2,根号2/2]为减函数，因此最小值在区间端处取得的 g(-根号2/2)=f(-π/4)=(1+根号2)/2 g(根号2/2)=f(π/4)=(1-根号2)/2 显然g(-根号2/2)=f(-π/4)

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