已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]

已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]

定义域值域都是[m,n]的情况 即考虑抛物线与y=x的关系即可,通过图像很好理解思路就是先找到抛物线与y=x的交点,再看这一段中抛物线的最大/最小值是否也在这段定义域内.f(x)=x|x+1|-x-2x>=-1时 ： f(x)=x(x+1)-x-2 =x^2-2 对称轴为x=0,开口向上,[-1,0)单调递减[0,+∞）单调递增 已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],(图1)答案网 www.Zqnf.com 答案网 www.Zqnf.com 所以先另y(m)=m 即x^2-2 =x , (x-2)(x+1)=0 x=2或-1, 这一段中x=0时最小值为-2,所以要取[-2,2].这段满足上述要求, 下面再分析[-2,-1]这段是否也满足要求. x<-1时, f(x)=x[-(x+1)]-x-2=-x^2-2x-2=-（x+1）^2-1对称轴为x=-1, 开口向下 在[-2,-1]的值域为[-1,-2] 也满足条件, 则上式的[-2,2] 满足要求. （碰巧[-2,-1]这段也满足要求,不过下面再用相同方法做一遍） 再单独考虑x<-1时情况.令-x^2-2x-2=x, (-x-2)(x+1)=0 x=-2或-1 已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],(图2)所以与y=x的交点是x=-2和x=-1 由于是开口向下的,看最大值在不在范围内.最大值为-1在范围内,所以[-2,-1]这段也满足

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