幂等矩阵的秩为什么等于它的迹

幂等矩阵的秩为什么等于它的迹

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）
幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。
幂等矩阵概述
幂等矩阵（idempotent matrix）定义:若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。
等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；
等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵；
等价命题3：若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵；
等价命题4：若A是幂等矩阵，A的k次幂任是幂等矩阵
（由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1）
由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。
符号说明如下：
AT为矩阵A的转置矩阵；
AH矩阵A的共轭转置矩阵；
A*为矩阵A的伴随矩阵；
E为单位矩阵
幂等矩阵性质
幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；
4.可逆的幂等矩阵为E；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；
7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；
8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，
且有：R(A1+A2) =R (A1) ♁R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；
2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2
且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )♁R (A2 )；
3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，
幂等矩阵的运算
且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A
1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）