设V是数域P上n维线性空间,证明V的与全体线性变换可以交换的线性变换是

设V是数域P上n维线性空间,证明V的与全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。在线等，急急急!求大神

V是n维线性空间，同构与R^n，其线性变换群是n阶矩阵群。
而可以和n阶矩阵群元素全交换的只有形如a·I（I是单位矩阵）的元素。
这对应了数乘变换。

解：设v是数域p上的n维线性空间，w是v的一个s维子空间，那么， 取定w的一个基：e1，e2，...，es， 将w的这个基扩充为v的一个基，记为，e1，e2，...，es，es+1，...，en 现在我们构造一下从v→v的线性变换γ，对任意的一个v中的元素x=x1e1 + x2e2 + .. . + xnen，对应关系如下： γ ：v→v γ 将x=x1e1 + x2e2 + .. . + xnen 对应到 元素xs+1es+1 + .. . + xnen 即，将x对应到它的后面的(n-s)个分量里去。 容易验证γ(x+y)=γ(x)+γ(y) 任意x，y属于 v γ(kx)=kγ(x)， 任意k属于数域 p 从而γ是一个v→v的线性变换。 并且 对任意的x属于w，按以上构造的定义必有γ(x)=0 因此，我们构造出来的这个线性变换γ，满足 ker γ=w 证毕。