射影定理の证明和 公式

就是 欧几里德定理の 公式~

    直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

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射影

直角三角形射影定理的证明

任意三角形射影定理

　　 [编辑本段]射影　　所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中 公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BD·DC， （2）（AB）²=BD·BC ， （3）（AC）²=CD·BC 。 等积式 （４）ABXAC=BCXAD(可用面积来证明） [编辑本段]直角三角形射影定理的证明　　（注：公式较多，难免出现乱码，请见谅） 　　证明： 　　 射影定理简图(几何画板)一、 　　在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC， 　　又∵∠BDA=∠BDC=90°， 　　∴△BAD∽△CBD， 　　∴ AD/BD＝BD/CD，即BD²=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明) 　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 　　有射影定理如下： 　　AB²=BD·BC，AC²=CD·BC 。 　　两式相加得： 　　AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC², 　　即AB²+BC²=AC²（勾股定理结论）。 　　二、 　　已知:三角形中角A=90度,AD是高. 　　用勾股证射影 　　:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 　　所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD. 　　故AD^2=BD*CD. 　　运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 　　综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 [编辑本段]任意三角形射影定理　　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a＝b·cosC＋c·cosB， 　　b＝c·cosA＋a·cosC， 　　c＝a·cosB＋b·cosA。 　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。 　　 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA 　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其它的。