初三数学弦切角

AD为△ABC的角平分线，AP切△ABC的外接圆于点A，交BC的延长线于P，又∠APB的平分线交AB、AC于E、F，交⊙O于点M。试问：线段AD与线段EF的关系如何？并证明

线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.

因为AP为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠PAC=∠B，

又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，

从而∠PAC+∠DAC=∠B+∠BAD,

而∠PAC+∠DAC=∠PAD，

∠B+∠BAD=∠PDA，所以

∠PAD=∠PDA，则△PAD为等腰三角形，

因PM平分∠APD，所以PM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，

从而AD垂直EF，

则∠AGE=∠AGF=90°，

再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，

从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。