在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,D是AB上的任意一点,AE⊥CD,BF⊥CD,求证:EF=│AE-BF│

在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,D是AB上的任意一点,AE⊥CD,BF⊥CD,求证:EF=│AE-BF│

1)AD<=AB/2,E点在三角形外
∠ACE=∠ACB-∠BCF=∠FBC，AC=BC
所以：△AEC≌△BFC
所以：AE=CF，BF=CE
所以：EF=CE-CF=BF-AE
所以：EF=|AE-BF|
2）
1)DB<=AB/2,E点在三角形内
同理：△AEC≌△BFC
所以：AE=CF，BF=CE
所以：EF=CE-CF=AE-BF
所以：EF=|AE-BF|

|(1)当d点距离a点较近时,画图可知e点在△abc外,f点在△abc内 因为∠ace+∠ecb=∠ecb+∠cbf=90度，所以∠ace=∠cbf 又因为ac=bc,∠aec=∠cfb=90度, 所以△aec≌△cfb 所以ae=cf，bf=ce 所以ef=ce-cf=bf-ae (2)当d点距离b点较近时,画图可知e点在△abc内,f点在△abc外 类似(1)可证明△aec≌△cfb 所以ae=cf，bf=ce 所以ef=cf-ce=ae-bf (3)综合(1)与(2)可知ef=|ae-bf|