A^2+2A-3I=0问m满足什么条件时(A+mI)是可逆矩阵

m=1+√3,或m=1-√3.
如果(A+mI)是可逆矩阵,不妨设逆矩阵为A+xI(因为矩阵A的最小多项式是2次的,其逆矩阵可表示为A的1次多项式),则
(A+mI)(A+xI)=I
A^2+(m+x)A+(mx-1)I=0
与A^2+2A-3I=0系数比较得
m+x=2,mx-1=-3,mx=-2
m,x是2次方程t^2-2t-2=0的两根,解此方程得t=1+√3,t=1-√3
即m=1+√3,或m=1-√3,当m=1+√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1-√3)I
当m=1-√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1+√3)I.