设A为n阶方阵，证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n

设A为n阶方阵，证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n

这里边用到两个结论：r(A+B)<=r(A)+r(B)对任意的n阶方阵A，B成立。
若AB=0，则r(A)+r(B)<=n，其中A，B是n阶方阵。
第一个不等式在任何线代数上都有。第二个一般的也有，你也可以自己证明。

1、A(A-E)=0，于是n>=r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)>=r(A+E-A)=r(E)=n。
中间等号必须成立，因此r(A)+r(A-E)=n。
2、(A+E)(A-E)=0，因此n>=r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)>=r(A+E+E-A)=r(2E)=n，
中间等号必须成立，故r(A+E)+r(A-E)=n。

证: 由已知, a^2=e,(a+e)(a-e)=0 所以 r(a+e)+r(a-e)<=n 又 |a^2|=1,|a|*|a|=1,|a|≠0，r(a)=n n=r(2a)=r[(a+e)+(a-e)]<=r(a-e)+r(a+e) 所以 r(a)+r(a+e)=n 知识点: 1. ab=0 则 r(a)+r(b)<=n 2. r(a+b)<=r(a)+r(b)

Prove： (1)duing to A^2=A,we get A(A-E)=0 since r(A)+r(A-E)<=n r(A)+r(A-E)>=r(A -(A )-E)=r(E)=n so r(A)+r(A-E)=n （2）change original form A^2=E into A^2-E^2=0;r(A+E)r(A-E)=0, use r(A+E) to replace r(A) in the proving process (1) we get the result r(A+E)+r(A-E)=n !