已知函数f(x)=cos²x-sin²x+sin2x

已知函数f(x)=cos²x-sin²x+sin2x

1、
由倍角公式：cos²x-sin²x=cos2x
则：f(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π/4)
则：f(x)的最大值为√2，
最小正周期T=2π/2=π

2、
f(α/2+π/8)=√2sin(α+π/2)=√2cosα=√5/2

得：cosα=√10/4，则：sin²α=1-cos²α=3/8
因为α∈[0,π/2]，所以，sinα>0，所以，sinα=√6/4
f(β/2+π)=√2sin(β+2π+π/4)=√2sin(β+π/4)=√2

得：sin(β+π/4)=1，则：β+π/4=π/2+2kπ，则：β=π/4+2kπ，k∈Z
又因为β∈[0,π/2]，所以，得：β=π/4
所以，sin(α+β)=sin(α+π/4)
=(√2/2)sinα+(√2/2)cosα
=(√3+√5)/4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

1.这题考察两个知识点，cos2x=cos²x-sin²x
cos2x+sin2x=√2sin（2x+π/4）
第一个问就解决了。x没限制范围，那f（x）最大值当然是√2了，最小正周期=2π/w,w在这里是2，所以最小正周期是π
2.这题考察的就是三角函数中两角和与差的正余弦公式。
根据第一个问得到的解析式，将函数代入，第一个能够直接得到cosa的值，第二个得到一个解析式，再根据万能公式求出b的正余弦值，千万千万注意a,b的范围。最后将sin(α+β)展开代入即可。
不懂继续追问

1、
由倍角公式：cos²x-sin²x=cos2x
则：f(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π/4)
则：f(x)的最大值为√2，
最小正周期T=2π/2=π
2、
f(α/2+π/8)=√2sin(α+π/2)=√2cosα=√5/2
得：cosα=√10/4，则：sin²α=1-cos²α=3/8
因为α∈[0,π/2]，所以，sinα>0，所以，sinα=√6/4
f(β/2+π)=√2sin(β+2π+π/4)=√2sin(β+π/4)=√2
得：sin(β+π/4)=1，则：β+π/4=π/2+2kπ，则：β=π/4+2kπ，k∈Z
又因为β∈[0,π/2]，所以，得：β=π/4
所以，sin(α+β)=sin(α+π/4)
=(√2/2)sinα+(√2/2)cosα
=(√3+√5)/4

解:
1.f(x)=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x
=根号2[sin(2x+π/4)]
最大值即当sin(2x+π/4)=1时
f(x)MAX=根号2
周期T=2π/2=π
2.
f(x)=根号2[sin(2x+π/4)]
f(α/2+π/8)=根号2[sin(α+π/2)]
=根号2[cos(α)]=√5/2
cos(α)=√5/2根号2
sin(α)=根号6/4
f(β/2+π)=√2
根号2[sin(β+2π)]=根号2[sin(β)]=根号2
sin(β)=1
cos(β)=0
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=根号6/4x0+√5/2根号2x1=√5/2根号2