已知f(x)=sin²x+2根号3sinxcosx-cos²x。求fx的最大值以及取最大值时x的值；还有fx的单调性。

已知f(x)=sin²x+2根号3sinxcosx-cos²x。求fx的最大值以及取最大值时x的值；还有fx的单调性。

f(x)=sin²x+2√3sinxcosx-cos²x
= 2√3sinxcosx-(cos²x-sin²x)
= √3sin2x-cos2x
= 2(sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6)
= 2sin（2x-π/6)
当2x-π/6=2kπ+π/2时，sin（2x-π/6)有最大值2，此时2x=2kπ+2π/3，x=kπ+π/3，其中k∈Z

（2x-π/6)∈(2kπ-π/2，2kπ+π/2)时，单调增，此时2x∈(2kπ-π/3，2kπ+2π/3)，∴单调增区间：x∈(kπ-π/6，kπ+π/3)，其中k∈Z

（2x-π/6)∈(2kπ+π/2，2kπ+3π/2)时，单调减少，此时2x∈(2kπ+2π/3，2kπ+5π/3)，∴单调减区间：x∈(kπ+π/3，kπ+5π/6)，其中k∈Z

追问：其实就想知道该怎么化简sin²x+2根号3sinxcosx-cos²x
追答：sin^2 x-cos^2 x=-(cos^2 x-sin^2 x)=-cos2x
2sinxcosx=sin2x

给你点提示，sin²x=(1-cos2x)/2
3sinxcosx=3/2*2*sinxcosx=3
/2sin2x
cos²x
=(1 cos2x)/2