已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．①求f（0）；②求证：f（x）为奇函数；③求f（x）在[

已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
①求f（0）；
②求证：f（x）为奇函数；
③求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
变形可得f（0）=0
②证明：因为x，y∈R时，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=f（x）
所以f（x）为奇函数．
③设x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
因为x＞0时f（x）＜0，所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
所以f（x）为减函数．
所以f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），最小值为f（3）．
因为f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
所以函数在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6．解析分析：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0）的值；
②在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，变形可得f（x）+f（-x）=f（0），由①的结论，即可得

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