用泰勒公式证明函数无实零点
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解决时间 2021-11-07 03:36
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-11-06 20:33
用泰勒公式证明函数无实零点
最佳答案
- 五星知识达人网友：大漠
- 2021-11-06 21:59
第三问应为p(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上无实零点吧？
（1）设p(x)=∑_(i=0)^6▒〖a_i 〖(x-1)〗^i 〗；求导得a_i=(f^((i) ) (1))/i!(i=0,1,⋯6)
可解得
p(x)=〖(x-1)〗^6+6〖(x-1)〗^5+15〖(x-1)〗^4+〖20(x-1)〗^3+13〖(x-1)〗^2+(x-1)+1
(2)按（1）的做法可得
p(x)=〖(x+1)〗^6-6〖(x+1)〗^5+15〖(x+1)〗^4-〖20(x+1)〗^3+13〖(x+1)〗^2-3(x+1)+3
(3)用反证法
若p(x)在(1,+∞)上有零点，由（1）：p(x)>1，矛盾
若p(x) 在(-∞,-1)上有零点，由（2）: p(x)>3，矛盾
得证
（1）设p(x)=∑_(i=0)^6▒〖a_i 〖(x-1)〗^i 〗；求导得a_i=(f^((i) ) (1))/i!(i=0,1,⋯6)
可解得
p(x)=〖(x-1)〗^6+6〖(x-1)〗^5+15〖(x-1)〗^4+〖20(x-1)〗^3+13〖(x-1)〗^2+(x-1)+1
(2)按（1）的做法可得
p(x)=〖(x+1)〗^6-6〖(x+1)〗^5+15〖(x+1)〗^4-〖20(x+1)〗^3+13〖(x+1)〗^2-3(x+1)+3
(3)用反证法
若p(x)在(1,+∞)上有零点，由（1）：p(x)>1，矛盾
若p(x) 在(-∞,-1)上有零点，由（2）: p(x)>3，矛盾
得证
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