已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的实数x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2，（1）求f（0）；f（2

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的实数x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）证明：f（x）是奇函数；
（3）证明：f（x）是增函数．

解：（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
又f（1）=2，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞0，可得f（x2-x1）＞0
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0
故有f（x2）＞f（x1）
所以?f（x）是增函数．解析分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，（2）由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；（3）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小即可．点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．

和我的回答一样，看来我也对了