在△ABC中AB=AC若P是BC边上的中点,连接AP,求证BP乘CP等于AB方-AP方

在△ABC中AB=AC若P是BC边上的中点,连接AP,求证BP乘CP等于AB方-AP方
2)若P是BC边上的任意一点,上面结论还成立吗?请说明理由;
3）若P是BC边延长线上一点,线段AB.AP.BP.CP之间有什么样的关系?请证明你的结论.回答

(1)在△ABC中AB=AC,P是BC边上的中点
所以,△ABC是等腰三角形,AP垂直于BC
所以三角形ABP是直角三角形,BP乘CP=BP² 由勾股定理知,BP²=AB²-AP²
所以,BP*CP=AB²-AP²
(2)成立.
设这时等腰三角形底边BC的中点是D,由（1）知,BD*CD=AB²-AP²,不妨设P在线段CD上,由于等腰三角形对称,在BD上也会成立.下面只讨论P在CD上,设PD=X
则,BP=BD+X,CP=CD-X=BD-X 所以,BP*CP=BD²-X² 在直角三角形ABD和APD中分别用勾股定理,地BD²=AB²-AD² X²=AP²-AD² 两式相减得 BD²-X²=AB²-AP²
所以,BP*CP=AB²-AP²,得证.
(3)线段之间的关系是BP*CP=AP²-AB²
证明原理和（2）类似.
在两个直角三角形ABD和APD中,用勾股定理
BD²=AB²-AD² PD²=AP²-AD² 两式相减 这时要拿后式减前式.PD²-BD²=AP²-AB².PD²-BD²=（PD+BD)(PD-BD)=BP(PD-CD)=BP*CP
所以,BP*CP=AP²-AB²