已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线L1：y=-x的一个交点的横坐标为4．（Ⅰ）求抛物线C

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线L1：y=-x的一个交点的横坐标为4．（Ⅰ）求抛物线C的方程．（Ⅱ）过点F任作直线L与曲线C交于A，B两点，由点A，B分别向（x-1）2+y2=14各引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求证：cosα+cosβ为定值．

（Ⅰ）解：∵抛物线C与直线L1：y=-x的一个交点的横坐标为4，
∴交点坐标为（4，-4），
代入抛物线C：y2=2px，可得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2k2+4，x1x2=1
∵cosα+cosβ=
|FP|
|AF| +
|FQ|
|BF| =

1
2
x1+1 +

1
2
x2+1 =
1
2 ，
当l与x轴垂直时，cosα+cosβ=
1
2 ，
综上，cosα+cosβ=
1
2 ．

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