设函数f(x)的定义域D为非零实数集，对于任何非零实数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),且f’(1)=2。证明f(x)在D上可导
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解决时间 2021-04-22 19:58
- 提问者网友：椧運幽默
- 2021-04-22 03:33
设函数f(x)的定义域D为非零实数集，对于任何非零实数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),且f’(1)=2。证明f(x)在D上可导
最佳答案
- 五星知识达人网友：蕴藏春秋
- 2021-04-22 04:38
f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0
对任意的非零实数x，f(x+△x)＝f(x*(1+△x/x))＝f(x)＋f(1+△x/x)，所以f(x+△x)－f(x)＝f(1+△x/x)＝f(1+△x/x)－f(1)
[f(x+△x)－f(x)]/△x＝[f(1+△x/x)－f(1)]/△x＝[f(1+△x/x)－f(1)] / (△x/x) ×1/x，所以
lim(△x→0) [f(x+△x)－f(x)]/△x ＝ lim(△x→0) [f(1+△x/x)－f(1)] / (△x/x) ×1/x＝f'(1)/x＝2/x
所以，f(x)在D上可导，且f'(x)＝2/x
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