F1F2是椭圆两焦点满足向量MF1,MF2相乘＝0（M在椭圆内）离心率范围？要过程
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解决时间 2021-02-19 07:03
- 提问者网友：几叶到寒
- 2021-02-18 18:55
F1F2是椭圆两焦点满足向量MF1,MF2相乘＝0（M在椭圆内）离心率范围？要过程
最佳答案
- 五星知识达人网友：逐風
- 2021-02-18 19:38
设 x²/a²+y²/b²=1
M(x,y)
b²x²+a²y²=a²b²
MF1=(-c-x,-y)
MF2=(c-x,-y)
MF1.MF2=x²-c²+y²=0
a²x²-a²c²+a²b²-b²x²=0
(a²-b²）x²=a²c²-a²b²≥0
c²≥b²=a²-c²
e²≥1/2
e∈（√2/2，1）
M(x,y)
b²x²+a²y²=a²b²
MF1=(-c-x,-y)
MF2=(c-x,-y)
MF1.MF2=x²-c²+y²=0
a²x²-a²c²+a²b²-b²x²=0
(a²-b²）x²=a²c²-a²b²≥0
c²≥b²=a²-c²
e²≥1/2
e∈（√2/2，1）
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- 1楼网友：琴狂剑也妄
- 2021-02-18 21:28
你细想，向量乘积为0，说明mf1⊥mf2， 因为f1、f2是定点，所以满足条件的m点构成了一个圆，这个圆以f1f2为直径，即半径为c 现在要让这个圆在椭圆内部，只需其短半轴长大于圆的半径，即b>c。 然后就可以算得e<√2/2了。 楼主你的什么eq/r(2)应该就是这个意思吧？
- 2楼网友：十鸦
- 2021-02-18 20:24
∵若M在椭圆上，应有：∠F1MF2＜90º
∴M在短轴上时：2c=F1F2<√2(MF1+Mf2)/2=√2a
e=c/a<√2/2 （e>0是默认值）
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