一道初中数学题目

四边形的四条边长a、b、c、d满足等式a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，求证：a=b=c=d。

证明：

因为a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，

所以a^4-2(a^2)(b^2)+b^4+c^4-2(c^2)(d^2)+d^4+2(a^2)(b^2)-4abcd+2(c^2)(d^2)=0，

所以(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0，

所以a^2=b^2，c^2=d^2，ab=cd，

故a=b=c=d。

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2 (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2 (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0 平方相加等于0，所以每一个平方都等于0 (a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0 a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0 a,b,c,d都大于0 a^2=b^2,所以a=b c^2=d^2,所以c=d ab-cd=0 ab=cd 把a=b和c=d代入 b^2=d^2,b=d 所以a=b=c=d

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0 a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0 (a^2-b^2)2+(c^2-d^2)2+2(ab-cd)2=0 当a、b、c、d四个数同号时， a=b=c=d