四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?

四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?

设四面体PA=PB=AB=AC=BC=a,PC=x,可以看作正三角形ABC不动,而正三角形PAB沿轴AB转动,x（PC是变化的）,取AB中点D,连结PD、CD,∵△PAB和△CAB均是正△,∴PD⊥AB,CD⊥AB,∴AB⊥平面PDC,VP-ABC=VB-PDC+VA-PDC=S△PDC*AB/3,S△PDC=(PD*CD*sin<PDC)/2,PD=CD=√3a/2,当〈PDC=90°时正弦有最大值为1,∴S△PDC（max)=(√3a/2)*(√3a/2)*1/2=3a^2/8,∴V（max)=a*(3a^2/8)/3=a^3/8.四面体的体积的最大值为a^3/8.当体积最大时,有两个正三角形,两个等腰三角形,S△PAB=S△ABC=√3a^2/4,△PDC是RT等腰△,PC=√2PD=√6a/2,余弦定理,cos<PBC=(a^2+a^2-6a^2/4)/(2*a*a)=1/4,sin<PBC=√15/4,S△PBC=S△PAC=a*a*sin<PBC/2=√15a^2/8,∴S=2*√3a^2/4+√15a^2/4=（2√3+√15）a^2/4.当四面体的体积最大时,其表面积为（2√3+√15）a^2/4. 四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.求该四面体的体积的最大值?当四面体的体积最大时,求其表面积?(图1)答案网 www.Zqnf.com 答案网 www.Zqnf.com ======以下答案可供参考======供参考答案1:底面是边长为a的等边三角形，三条棱中，两条长为a，一条为x该四面体体积为SH/3，其中S为底面面积，H为该三棱锥的高S=1/2*a*(a√3)/2=√3a²/4当两条棱长为a组成的这个侧面垂直底面的时候，H取得最大值此时的H=该侧面三角形中的高h=a√3/2（当侧面不垂直于底面时，根据直角三角形斜边大于直角边可知，必有H＜h）所以体积最大值V=SH/3=√3a²/4*a√3/2/3=a³/8此时四面体四个面分别是两个边长为a的等边三角形，两个腰长为a、底边为a√6/2的等腰三角形

好好学习下