数列，a1=1/2，前n项和Sn=n^2 * an，求an

数列，a1=1/2，前n项和Sn=n^2 * an，求an

n>+2时，Sn=n^2*an

Sn-1=(n-1)^an-1

两式相减,Sn-Sn-1=an=n^2*an-(n-1)^an-1

化简得an/an-1=(n-1)/(n+1)

所以，an-1/an-2=(n-2)/(n)

an-2/an-3=(n-3)/(n-1)

.

.

.

a3/a2=2/4

两边相乘就可得到an的通项式，再检验当n=1时是否满足这个通项式，满足这个通项式就是所求的，不满足就分n=1和n>=2两种情况写

解：

由Sn=n^2 * an得，S（n-1）=（n-1）^2 * a（n-1）

故 an=Sn-S(n-1)=n^2 * an-(n-1）^2 * a（n-1）

得 an*(n^2-1)=a(n-1)*(n-1)^2

则 an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)

( an/a(n-1) ) * ( a(n-1)/a(n-2)）*(a(n-2)/a(n-3))*... ...*(a4/a3)*(a3/a2)*(a2/a1)

= ((n-1)/(n+1))*((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))*... ... *(3/5)*(2/4)*(1/3)

即 an/a1=2/(n*(n+1))

an=2*a1/(n*(n+1)=1/(n*(n+1))

n>1时

Sn=n²×an①

S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)②

①-②得 Sn-S(n-1)=n²×an-(n-1)²×a(n-1)

∴an=n²×an-(n-1)²×a(n-1)

∴(n²-1)×an=(n+1)(n-1)×an=(n-1)²×a(n-1)

∴(n+1)×an=(n-1)×a(n-1)

an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)

a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n

a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)

……

a3/a2=2/4

a2/a1=1/3

上面n-1个式子相乘得 an/a1=1×2/n(n+1)

∴an=1×2/n(n+1)×(1/2)=1/n(n+1),n=1时也符合

综上,an=1/n(n+1)

an=1/2x(（（n-1）^2)/(1-vn ^2))^(n-1) 就是n降1 Sn变Sn-1 Sn-1=（n-1）^2*an-1 两式相减