1^2+2^2+3^2+4^+.......+n^2=?,为什么？需要详细的推导过程，谢谢！

1^2+2^2+3^2+4^+.......+n^2=?,为什么？需要详细的推导过程，谢谢！

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

这个可以推出来的 课本上是用 完全归纳法 其实还有一种 由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以 2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1 3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1 4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1 5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1 … … n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1 (n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1 上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项： (n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n 不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为s。 则n^3+3n^2+3n+1=1+3*s+3*(1+n)*n/2+n 化简得：s=n(n+1)*(2n+1)/6