怎样证明样本协方差的无偏性

怎样证明样本协方差的无偏性

n-1的由来——样本方差无偏估计证明推导公式,样本方差与自由度
证明S2(x)=1/(n-1)∑[xi-E(x)]2为var2(x)的无偏估计
需证明E(S2)=var2(x)
∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2，∑条件为j=1→n
=1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2，∑条件为j=1→n且j≠i
=1/n2∑[(n-1)2xi2-2(n-1)∑(xi xj)+ ∑xj2+2∑xj xz]，∑条件为j=1→n，z=1→n，且j≠z≠i
E∑[xi-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2 E(xi2)-2(n-1)∑E (xixj)+ ∑E (xj2)+2∑E(xjxz)]，
知抽样样本相互独立E (xixj)=E(xi)E(xj)，且var(x)= E(x2)- E(x)2，且∑有n项，∑有n项，∑有n-1项，∑有(n-1)(n-2)/2项
E∑[x-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2E(xi2)-2(n-1)(n-1)E(x)2+(n-1)E(xj2)+(n-1)(n-2)E(x)2]，
=1/n2∑[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]，
=1/n2 * n *[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]
=(n-1) var2(x)
所以E(S2)=var2(x)
自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。如果E(x)为一常数u，那么 var2(x)=1/n∑(x-u)2 。抽样样本方差估计中 E(x)由样本本身确定。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。