已知a,b,c为正数,且a^2/(1+a^2)+b^2/(1+b^2)+c^2/(1+c^2)=1,求证:abc≤(根号2)/4
好吧我自己做出来了。。
已知a,b,c为正数,且a^2/(1+a^2)+b^2/(1+b^2)+c^2/(1+c^2)=1,求证:abc≤(根号2)/4
答案:2 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-02-03 18:00
- 提问者网友：精神病院里
- 2021-02-02 17:30
最佳答案
- 五星知识达人网友：春色三分
- 2021-02-02 18:03
a^2/1+a^2+b^2/1+b^2+c^2/1+c^2=1,
可以写成a^2+b^2+c^2=1/2
由a^2+b^2>2a^2*b^2
a^2+b^2+c^2>2*2a^2*b^2*c^2
a^2*b^2*c^2<1/4*(a^2+b^2+c^2)=1/8
abc<=根号1/8=根号2/4
可以写成a^2+b^2+c^2=1/2
由a^2+b^2>2a^2*b^2
a^2+b^2+c^2>2*2a^2*b^2*c^2
a^2*b^2*c^2<1/4*(a^2+b^2+c^2)=1/8
abc<=根号1/8=根号2/4
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- 1楼网友：等灯
- 2021-02-02 19:17
设 f(x)= x/(1 x^2),且 0<=x<=1. 可以验证 f的二次导数 <= 0, 即 f是凹函数。 所以 [f(a) f(b) f(c)]/3 <= f[(a b c)/3]= f(1/3) = 3/10 即： a/(1 a^2) b/(1 b^2) c/(1 c^2)≤9/10 所以最大值9/10
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