四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边行，

侧面SBC垂直于底面ABCD 以知角ABC等于45度， AB等于2 .BC等于2根号2， SA=SB=根号3.

求直线SD与平面SAB所成角的正弦值

只要求出D到面SAB的距离h，然后用h比上DS的长度，即可得所求角的正弦值，即所求量为sinα=h/DS，h和DS的长度由下面的过程分别求出：

先求DS：

取AB,BC中点分别为F,E，连接SF，SE，FE，AE，DE，AC
在△ABC中运用余弦定理：AC^=AB^+BC^-2*AB*BC*cos∠ABC,可求出AC=2，于是可得出三角形ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90度，AC⊥AB，E,F分别为BC，AB中点，于是有EF‖AC且EF=AC/2=1,于是有EF⊥AB
而E为斜边BC中点，有AE⊥BC
在平面ABCD中，利用直角三角形ADE很容易求出DE=3，留作后用
因为SA=SB，AB中点为F，所以有SF⊥AB，刚才已证AB⊥EF，而且EF，SF为面SEF中的相交直线，于是有AB⊥面SEF，而SE也在面SEF上，所以有AB⊥SE
因为面SBC⊥面ABC，BC为两面交线，且有面ABCD中的直线AE⊥BC（前方已证），故AE⊥面SBC于E，因为SE在面SBC上，所以AE⊥SE
这样，结合AB⊥SE，AE⊥SE，AB、AE为面ABCD上的相交直线，故有SE⊥面ABCD，所以SE⊥BC，由于BE=BC/2=√2，可利用Rt三角形SBE求出SE=1
由SE⊥面ABCD另得SE⊥DE，故利用Rt三角形SED可求出DS的长
DS=√10

再求D到面SAB的距离h

在平行四边形ABCD中，CD‖AB，所以CD‖面SAB，于是h的长度亦等于C到面SAB上的距离，此值显然为四面体SABC中顶点C到面SAB上的高
由于已证SE⊥面ABCD，于是可以得出SE是四面体SABC中顶点S到面ABC上的高
在Rt三角形SBF中，可轻易求出SF=√2，于是S△SAB=AB*SF/2=√2
而S△ABC=AB*AC/2=2
根据四面体SABC的体积公式，可列出等式：
h*S△SAB=SE*△ABC
进而求出h=√2

故所求角的正弦值为h/SD=√2/√10=√5/5

AC^2=4+8-8√2cos45° =12-8=4 AC=2 ΔABC是直角三角形AC⊥AB S连接AB中点F，则因SA=SB=2，SF⊥AB 侧面SBC垂直于底面ABCD SF⊥底面ABCD，SF⊥AC AC⊥平面SAB 过D作DE//AC交BA延长线于E DE⊥BE 因为底面ABCD为平行四边行，AE=CD=AB=2,DE=AC=2 BE=4，FE=3,SF^2=SB^2-BF^2=3-1=2,SF=√2 DF^2=EF^2+DE^2=9+4=13 DF=√13,SD^2=DF^2+SF^2=2+13,SD=√15 sin∠SDF=SF/SD=√2/√15=√30/15 直线SD与平面SAB所成角的正弦值为√30/15

ac^2=4+8-8√2cos45° =12-8=4 ac=2 δabc是直角三角形ac⊥ab s连接ab中点f，则因sa=sb=2，sf⊥ab 侧面sbc垂直于底面abcd sf⊥底面abcd，sf⊥ac ac⊥平面sab 过d作de//ac交ba延长线于e de⊥be 因为底面abcd为平行四边行，ae=cd=ab=2,de=ac=2 be=4，fe=3,sf^2=sb^2-bf^2=3-1=2,sf=√2 df^2=ef^2+de^2=9+4=13 df=√13,sd^2=df^2+sf^2=2+13,sd=√15 sin∠sdf=sf/sd=√2/√15=√30/15 直线sd与平面sab所成角的正弦值为√30/15