证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．

证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．

证明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则f（0）=0，且在[0，+∞）上可导．因为f′（x）=ln（1+x）+1-11+x======以下答案可供参考======供参考答案1:设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx (x>0)供参考答案2:2楼的证明有误,不定积分一般不能进行值比较,应化为定积分且积分限应一致, (1+x)ln(1+x)=∫[1+ln(1+x)]dx, (积分上下限为x,0) arctanx=∫1/(1+x^2)dx (积分上下限为x,0) 此时比较1+ln(1+x)和1/(1+x^2)的大小. 要证明上式,可用微分学的知识,设f(x)=1+ln(1+x)-1/(1+x^2),f(0)=0, df/dx=1/(x+1)+2x/(x^2+1)>0,f(x)单调增,f(0)=0,故x>0时f(x)>0. 此时1+ln(1+x)>1/(1+x^2)得证. 故得(1+x)ln(1+x)>arctanx供参考答案3:导数应用问题先构造一个函数，令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx,可知它在x>-1时连续可导对其求导得到f'(x)=ln(1+x)+1-1/(x^2+1)=ln(1+x)+x^2/(x^2+1)>0故f(x)单调递增，于是x>0时有f(x)>f(0)=0即(1+x)ln(1+x)-arctanx>0，移项便得到结论