若函数F(X)=根号3 Sin2X+2Cos平方X +M在区间[0,2分之派]上的最大值为6.求常数M的值及此时函数当X∈R时的最小值,并求相应的X的取值集合

若函数F(X)=根号3 Sin2X+2Cos平方X +M在区间[0,2分之派]上的最大值为6.求常数M的值及此时函数当X∈R时的最小值,并求相应的X的取值集合

解：F(x)=√3sin2x+1+cos2x+M

    =2sin(2x+π/6)+M+1,

因为函数在[0,π/2]上最大值为6，

则π/6≤2x+π/6≤7π/6,

则-1/2≤sin(2x+π/6)≤1,

所以6=2+M+1，M=3。

F(x)=2sin(2x+π/6)+4.

因为当X∈R时函数有最小值,

则2x+π/6=2kπ-π/2,k∈Z，

x=kπ-7π/12,k∈Z。

即X的取值集合为：{x|x=kπ-7π/12,k∈Z}.

F(X)=根号3 Sin2X+2Cos平方X +M=根号3Sin2X+Cos2X-1+M=2Sin(2X+60°)+M-1,当X属于[0,2分之派]时,F(x)最大值为M+1,最小值为M-1-根号3(X=2分之派时).所以M=5.{x|X=2kπ+π/2,k为整数},最小值为4-根号3