求大神I=∫∫∑√(x^2+y^2)ds x^2+y^2+z^2=R^2（z>=0）求解
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解决时间 2021-02-12 21:00
- 提问者网友：wodetian
- 2021-02-11 20:08
求大神I=∫∫∑√(x^2+y^2)ds x^2+y^2+z^2=R^2（z>=0）求解
最佳答案
- 五星知识达人网友：街头电车
- 2021-02-11 20:25
x² + y² + z² = R²在z ≥ 0的部分
取Σ：z = √(R² - x² - y²)
∂z/∂x = - x/√(R² - x² - y²)、∂z/∂y = - y/√(R² - x² - y²)
∫∫Σ √(x² + y²) dS
= ∫∫D √(x² + y²) * √[1 + x²/(R² - x² - y²) + y²/(R² - x² - y²)] dxdy、D：x² + y² ≤ R²
= ∫∫D √(x² + y²) * R/√(R² - x² - y²) dxdy
= R∫(0，2π) dθ ∫(0，R) r * 1/√(R² - r²) * r dr、r = Rsinz、dr = Rcosz dz
= R * 2π * ∫(0，π/2) R²sin²z * 1/(Rcosz) * (Rcosz) dz
= 2πR³∫(0，π/2) (1 - cos(2z))/2 dz
= πR³ * [z - (1/2)sin(2z)]：(0，π/2)
= (π²R³)/2
取Σ：z = √(R² - x² - y²)
∂z/∂x = - x/√(R² - x² - y²)、∂z/∂y = - y/√(R² - x² - y²)
∫∫Σ √(x² + y²) dS
= ∫∫D √(x² + y²) * √[1 + x²/(R² - x² - y²) + y²/(R² - x² - y²)] dxdy、D：x² + y² ≤ R²
= ∫∫D √(x² + y²) * R/√(R² - x² - y²) dxdy
= R∫(0，2π) dθ ∫(0，R) r * 1/√(R² - r²) * r dr、r = Rsinz、dr = Rcosz dz
= R * 2π * ∫(0，π/2) R²sin²z * 1/(Rcosz) * (Rcosz) dz
= 2πR³∫(0，π/2) (1 - cos(2z))/2 dz
= πR³ * [z - (1/2)sin(2z)]：(0，π/2)
= (π²R³)/2
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