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求曲面z=x²+y²被柱面x²+y=4所截得的面积。

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解决时间 2021-01-04 09:27
求曲面z=x²+y²被柱面x²+y=4所截得的面积。急求解,谢谢
最佳答案
柱面x²+y=4不是封闭区域,所截面积为无穷大
全部回答
  • 方法一 对于z=f(x,y),曲面面积为 a=∫∫d da=∫∫d √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy 锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割 则积分区域d为:0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²) 化为极坐标为:0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ 锥面方程为:z=r;柱面方程为:r=2cosθ əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ (əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1 ∴a=∫∫d √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy =∫∫d √[1+1] rdrdθ =√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ =√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π
  • 方法二:详见下图
  • 题目有误…………
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