f(t)=3e^(-9t)+9∫f(f-u).du ,0,t 拉普拉斯变化 求f(t)?

f(t)=3e^(-9t)+9∫f(f-u).du ,0,t 拉普拉斯变化 求f(t)?

你题目有点小错，应该是9∫f(t-u)du吧？
首先对这个积分∫[0-->t] f(t-u)du作换元，令t-u=x，则du=-dx，x：t-->0
则 ∫[0-->t] f(t-u)du=-∫[t-->0] f(x)dx=∫[0-->t] f(x)dx
则 f(t)=3e^(-9t)+9∫[0-->t] f(x)dx (1)
求导得：f '(t)=-27e^(-9t)+9f(t)
对(1)将t=0代入得：f(0)=3
问题转化为求解初值问题：f '(t)=-27e^(-9t)+9f(t)，f(0)=3
设f(t)的拉普拉斯变换为：F(s)，上式两边做拉普拉斯变换得
sF(s)-f(0)=-27/(s+9)+9F(s)
即：sF(s)-3=-27/(s+9)+9F(s)
解得：F(s)=3s/[(s+9)(s-9)]
下面求3s/[(s+9)(s-9)]的拉普拉斯逆变换
3s/[(s+9)(s-9)]=A/(s+9)+B/(s-9)，解得：A=3/2，B=3/2
3s/[(s+9)(s-9)]=(3/2)*1/(s+9)+(3/2)*1/(s-9)
其拉普拉斯逆变换为：(3/2)*e^(-9t)+(3/2)*e^(9t)

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