高一数学作业问题

已知与曲线C：x^2+y^2-4x-4y+4=0相切的直线L交x,y正半轴与A，B两点，即A(a,0)，B(0,b)，且a>4,b>4。

（1）求证：(a-4)(b-4)=8。（2）求线段AB中点的轨迹方程。（3）求三角形AOB面积的最小值，以及此时的直线L的方程。

1)x^2+y^2-4x-4y+4=0--->(x-2)^2+(y-2)^2=4此圆的圆心是（2，2），半径r=2
设切线方程是x/a+y/b=1--->bx+ay-ab=0
依圆的切线的性质，有|2b+2a-ab|/√(a^2+b^2)=2
--->4a^2+4b^2+a^2*b^2+8ab-4ab^2-4a^2*b=4a^2+4b^2
--->a^2*b^2-4ab^2-4ba^2+8ab=0
--->ab-4a-4b+8=0
---L(a-4)(b-4)=8……（*）
2)AB的中点是P(x,y),则有x=a/2,y=b/2
--->a=2x,b=2y
代入（*）得到(2x-4)(2y-4)=8
--->(x-2)(y-2)=2 这就是AB的中点的轨迹方程
3）(a-4)(b-4)=8--->b=8/(a-4)+4=4(a-2)/(a-4)
S（△AOB）=ab/2
=2a(a-2)/(a-4)
--->2a^2-4a=Sa-4S
--->2a^2-(S+4)a+4S=0
△>=0--->(S+4)^2-32S>=0
--->S^2-24S+16>=0
--->(S-12)^2>=128
--->S>=12+8√2

对应的a的值以及l的方程请自行完成

x^2+y^2-4x-4y+4=0是圆心为（2，2），半径为2的圆。

由条件，直线AB的截距式方程为x/a+y/b=1,因为圆心到切线的距离等于半径，所以有

|2/a+2/b-1|/√[(1/a)^2+(1/b)^2]=2,去分母两边平方整理得1-4/a-4/b+8/ab=0,即ab-4a-4b+16=8,即证明了（1）。

（2）设线段AB中点为（x,y),x=a/2,y=b/2,代入（1）中得到的等式，得所求的轨迹方程为：(2x-4)(2y-4)=8

即(x-2)(y-2)=2,或y=2[1+1/(x-2)]

（3）∵ab=4(a+b)-8≥8√ab-8,且a=b时，等号成立，此时三角形AOB面积取最小值.

即(a-4)^2=8,a>4,∴a=4+2√2, 三角形AOB面积最小值为a^2/2=(4+2√2)^2/2=4(3+2√2),

利用前面的截距式方程，此时的直线L的方程为x+y=4+2√2.

（1)x²+y²-4x-4y+4=0，∴（x-2)²+(y-2)²=4此圆的圆心是（2，2），半径r=2 ，设切线方程是x/a+y/b=1，∴bx+ay-ab=0 ，依圆的切线的性质，有|2b+2a-ab|/√(a^2+b^2)=2 ，∴4a^2+4b^2+a^2*b^2+8ab-4ab^2-4a^2*b=4a^2+4b^2 ，∴a^2*b^2-4ab^2-4ba^2+8ab=0 ，ab-4a-4b+8=0 ，所以 (a-4)(b-4)=8 （2)AB的中点是P(x,y),则有x=a/2,y=b/2 ∴a=2x,b=2y ，代入（1）中得到的式子得到(2x-4)(2y-4)=8 ∴(x-2)(y-2)=2 这就是AB的中点的轨迹方程 。 （3）(a-4)(b-4)=8，∴b=8/(a-4)+4=4(a-2)/(a-4) ，S（△AOB）=ab/2 =2a(a-2)/(a-4) ，∴a²-2a=2Sa-4S  ∴2a²-(2S+2)a+4S=0 ，△≥0得(2S+2)²-32S≥0 ，∴S²-24S+4>=0 ，此时得S最小值，带入方程可以得到a值

作辅助线如图

D，E，H都是原与直线的切点

C是圆心

1.

EC=CH AC=AC 角CEA=角AHC

所以△ACE △AHC全等

同理△HCB △BCD全等

由图可知

S△AOB=2*S△AEC+2*S△CDB+2*2

1/2ab=2*1/2*(a-2)*2+2*1/2*(b-2)*2+4

化简得

ab-4b-4a+16=8

即 (a-4)(b-4)=8

2.

设.M点坐标为（x.y)

则 （a+0)/2=x

(b+0)/2=y

即 a=2x b=2y

将上式代入(a-4)(b-4)=8

得

y=(2x-2)/(x-2)

3.

S△AOB=1/2ab

(a-4)(b-4)=8

设.t=a-4

j=b-4

则tj=8

S△AOB=1/2(t+4)(j+4)

=4+8+2(t+j)

t+j≥2根号下tj（这是基本不等式，不知道你们学了没有）

即 t+j≥4倍的根号2

S△AOB最小值为12+8倍的根号2

当且仅当t=j时成立

即 t=j=2倍的根号2

a=b=2倍的根号2+4

即A（2倍的根号2+4，0）B（0，2倍的根号2+4）

因为直线L过A.B两点

所以 将两点坐标代入y=kx+b可解得方程为

y=-x+4+2倍的根号2