级数证明:若级数∑an收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³,推广到∑(an)^n是否都收敛.

级数证明:若级数∑an收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³,推广到∑(an)^n是否都收敛.

可能是你的表达有误，按你的叙述，结论不对。
举个例子，an=1/(n^2)，显然 ∑an 是收敛的。
然而，(an)^n ->1，所以 ∑(an)^n 是发散的。追问请问一下 (an)^n ->1 an既然是一个属于(0,1)间的数,那它的n次方也不会趋于1吧.追答不好意思，我看错题了，以下面的叙述为准。。。
设 an=((-1)^(n-1))/(ln n)，
则 ∑an 收敛 (莱布尼茨判别法)。
但是当m (m与n无关)是偶数时，只要与发散级数∑(1/n)做比较就能知道，级数 ∑(an)^m是发散的。

但是级数∑(an)^n却是收敛的。
原因如下：
∑an 收敛，故 an->0，从而存在小于1的正数c，使得当n大于某个正整数N时，|an|所以|an|^n< M×c^n，n=1，2，......，其中M是一个正常数。
然后由级数∑c^n的收敛性便可知∑(an)^n是收敛的。追问当m (m与n无关)是偶数时，只要与发散级数∑(1/n)做比较就能知道，级数 ∑(an)^m是发散的。
这句话你能讲解一下么,否则我都不知道该给谁分了,你证明一下,行的话就选你的答案.谢谢追答设 an=((-1)^(n-1))/(ln n)，当m (m与n无关)是偶数时，∑(an)^m=∑(1/(ln n))^m，而我们知道，当n充分大时，1/((ln n)^m)>1/n (与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)，而级数∑(1/n)是发散的，所以此时级数∑(an)^m也是发散的。。。追问与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)，
这证明不充分啊.
比如 x²比x³增长慢,但是x²)²却比x³增长快.
或许你直接表示的是(ln n)^m (m取任意偶数,的增长速度比n慢,但你能解释一下么.我对这种形式题没经验.抱歉,屡次麻烦你.追答对任何常数 a>0，b>0 (a，b可以不是整数)，都存在正整数N，使得当n>N时，有 (ln n)^a---------------------------------------
我说一下大概思路，当x->正无穷时，有 ((ln x)^a)/((ln x)^b)->0。
用洛必达法则很容易证明的。

错的。
a[n] = (-1)^n/√n，组成一个收敛的交错级数。但是∑a[n]^2是调和级数，从而发散

这个没希望的，有反例，比如
a_{3n+1} = a_{3n+2} = 1/[2ln(n+1)]
a_{3n+3} = -1/ln(n+1)
显然\sum a_n = 0但是\sum a_n^k对任何k \neq 1都发散追问不好意思,你写的我看不大懂,能写得简明点么,谢谢.追答1/(2ln2) + 1/(2ln2) - 1/ln2 + 1/(2ln3) + 1/(2ln3) - 1/ln3 + 1/(2ln4) + 1/(2ln4) - 1/ln4 + ... + 1/[2ln(n+1)] + 1/[2ln(n+1)] - 1/ln(n+1) + ...

我试试，希望能帮到你：
因为级数an无限项求和收敛
所以 lim [an-a(n-1)] = 0 n趋向无穷
所以 a(n)^3 - a(n-1)^3
= [a(n)-a(n-1)] [a(n)^2 + a(n)a(n-1) + a(n-1)^2]
lim [a(n)^3 - a(n-1)^3] =0 n趋向无穷
所以级数an^3无限项求和收敛
类似的
an^n-a(n-1)^n
=(an-a(n-1))*(an^(n-1) + an^(n-2)*a(n-1) + ........+ a(n-1)^(n-1))
所以∑(an)^n收敛
（大学毕业10年了啊。。。不知这样证行不行）追问您证明lim [a(n)^3 - a(n-1)^3] =0 n趋向无穷 结论没错,但是这只能说是证明了数列收敛的必要条件. 不能用必要条件来说明数列收敛的. 不过还是谢谢您了.追答是的我错了，把大学的书找出来看了看（还好没卖掉），真的忘光了，
我思考之后得出如下结论：
若级数∑an是条件收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³.......∑(an)^n不一定收敛，可以通过举反例来说明，楼下很多例子都不错。
若级数∑an是绝对收敛，则∑(an)²,∑(an)³.......∑(an)^n一定收敛
证明：若∑an是绝对收敛级数，根据级数收敛的柯西准则 ：∑an收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N，对一切自然数 p，有｜a(n+1)｜＋｜a(n+2)｜＋…＋｜a(n+p)｜＜ε
所以 ｜a(n+1)/ε｜＋｜a(n+2)/ε｜＋…＋｜a(n+p)/ε｜＜1
｜a(n+1)/ε｜^2＋｜a(n+2)/ε｜^2＋…＋｜a(n+p)/ε｜^2＜｜a(n+1)/ε｜＋｜a(n+2)/ε｜＋…＋｜a(n+p)/ε｜＜1
可以得到｜a(n+1)^2｜＋｜a(n+2)^2｜＋…＋｜a(n+p)^2｜＜ε^2
由ε的任意性，可以得到∑(an)²收敛