已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为55．求该圆的方程．

设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为



2 r．故r2=2b2
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2-a2=1；
又因为P（a，b）到直线x-2y=0的距离为




5
5 ，所以d＝
|a?2b|




5 =




5
5 ，即有a-2b=±1，
由此有







2b2?a2＝1
a?2b＝1 或







2b2?a2＝1
a?2b＝?1
解方程组得







a＝?1
b＝?1 或







a＝1
b＝1 ，于是r2=2b2=2，
所求圆的方程是：（x+1）2+（y+1）2=2，或（x-1）2+（y-1）2=2．

设所求圆心为p（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|， 因圆p截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1， ∴劣弧所对的圆心角为90°， 故r= 2 b，即r2=2b2， ∴2b2-a2=1①， 又∵p（a，b）到直线x-2y=0的距离为 5 5 ， 即 |a?2b| 5 = 5 5 ， 即a-2b=±1．② 解①②组成的方程组得： a＝1 b＝1 或 a＝?1 b＝?1 ，于是即r2=2b2=2， ∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x-1）2+（y-1）2=2．