设函数f(x)=2x,x≤0log2x,x<0,若对任意给定的y∈(2,+∞),都存在唯一的x∈R,满足f(f(x))=2a
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解决时间 2021-03-02 03:57
- 提问者网友:聂風
- 2021-03-01 23:01
设函数f(x)=2x,x≤0log2x,x<0,若对任意给定的y∈(2,+∞),都存在唯一的x∈R,满足f(f(x))=2a2y2+ay,则正实数a的最小值是( )A.14B.12C.2D.4
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- 五星知识达人网友:神也偏爱
- 2021-03-01 23:15
根据f(x)的函数,我们易得出其值域为:R,
又∵f(x)=2x,(x≤0)时,值域为(0,1];f(x)=log2x,(x>0)时,其值域为R,
∴可以看出f(x)的值域为(0,1]上有两个解,
要想f(f(x))=2a2y2+ay,在y∈(2,+∞)上只有唯一的x∈R满足,
必有f(f(x))>1 (因为2a2y2+ay>0),
所以:f(x)>2,
解得:x>4,
当 x>4时,x与f(f(x))存在一一对应的关系,
∴2a2y2+ay>1,y∈(2,+∞),且a>0,
所以有:(2ay-1)(ay+1)>0,
解得:y>
1
2a 或者y<-
1
a (舍去),
∴
1
2a ≤2,
∴a≥
1
4 ,
故选:A
又∵f(x)=2x,(x≤0)时,值域为(0,1];f(x)=log2x,(x>0)时,其值域为R,
∴可以看出f(x)的值域为(0,1]上有两个解,
要想f(f(x))=2a2y2+ay,在y∈(2,+∞)上只有唯一的x∈R满足,
必有f(f(x))>1 (因为2a2y2+ay>0),
所以:f(x)>2,
解得:x>4,
当 x>4时,x与f(f(x))存在一一对应的关系,
∴2a2y2+ay>1,y∈(2,+∞),且a>0,
所以有:(2ay-1)(ay+1)>0,
解得:y>
1
2a 或者y<-
1
a (舍去),
∴
1
2a ≤2,
∴a≥
1
4 ,
故选:A
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- 1楼网友:行雁书
- 2021-03-02 00:54
根据f(x)的函数,我们易得出其值域为:r
又∵f(x)=2x,(x≤0)时,值域为(0,1];f(x)=log2x,(x>0)时,其值域为r
∴可以看出f(x)的值域为(0,1]上有两个解,要想f(f(x))=2a2y2+ay,在y∈(2,+∞)上只有唯一的x∈r满足,
必有f(f(x))>1 (因为2a2y2+ay>0)
所以:f(x)>2
解得:x>4,
当 x>4时,x与f(f(x))存在一一对应的关系
∴2a2y2+ay>1,y∈(2,+∞),且a>0
所以有:(2ay-1)(ay+1)>0
解得:y>
1
2a 或者y<-
1
a (舍去)
∴
1
2a ≤2
∴a≥
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故答案为:
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