若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A，B两点，O是坐标原点（1）当m=-1，c=-2时，求证OA⊥OB

（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

要求有详细的解答，拜托了，非常感谢！

(1)联立l与抛物线方程，消去x（计算量能小一些），得到关于y的二次方程
求出y1*y2
再代入直线方程，求出x1*x2
若x1*x2+y1*y2=0即可证得OA⊥OB

(2)由OA⊥OB，得到x1*x2+y1*y2=0，即：关于m与c的一个关系式
比如将c转化成m，则整理出 l :（关于x,y的一个系数）*m+(不含m的常数项)＝0
只需（关于x,y的一个系数）＝0且(不含m的常数项)＝0，即可求出定点坐标。

（3）AB为直径，具体步骤和第二问可能有关。AB中点为圆心，｜AB｜弦长的一半为半径，比较圆心到准线的距离与半径的关系即可得到结论。

设a（x₁，y₁）、b（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0 可知y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x1x2=

1

2

y

21

• 1 2 y

22

=

1

4

×4c2=c2 ∴x₁+x₂=2m²-2c，，x1x2=

1

2

y

21

• 1 2 y

22

=

1

4

×4c2=c2 （1）当m=-1，c=-2时，x₁x₂+y₁y₂=0 所以oa⊥ob． （2）当oa⊥ob时，x₁x₂+y₁y₂=0 于是c²+2c=0 ∴c=-2（c=0不合题意），此时，直线l：x+my-2=0（3）过定点（2，0）． （3）由（2）oa⊥ob，知c=-2 由题意ab的中点d（就是△oab外接圆圆心）到原点的距离就是外接圆的半径．d（m²-c，-m） 而（m²-c+

1

2

）²-[（m²-c）²+m²]=

1

4

-c=

9

4

∴圆心到准线的距离大于半径，故△oab的外接圆与抛物线的准线相离