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在直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2),向量OB=向量OA+向量OC(O是坐标原点),其中t∈(0,+∞)。

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解决时间 2021-04-26 05:39

在直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2),向量OB=向量OA+向量OC(O是坐标原点),其中t∈(0,+∞)。

(1)求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t),

(2)确定函数S(t)的单调区间,并求S(t)的最小值

最佳答案
 (1) OB=OA+OC
B的横坐标和纵坐标分别为1-2t, 2+t, B(1-2t, 2+t)
直线AB的方程为(y-t)/(x-1) = (2+t-t)/(1-2t-1) = -1/t
y = t - (x-1)/t
x = 0, y = t + 1/t
AB与y轴的交点为D(0, t+1/t)
OABC在第一象限部分为三角形OAD,△OAD的面积 = (1/2)OD*OD上的高
= (1/2)(t + 1/t)*A的横坐标
= (t + 1/t)/2
= (t² + 1)/(2t)
全部回答
解:(1)∵
OB
OA
+
OC
,∴OABC为平行四边形, 又∵
OA
OC
=0,∴OA⊥OC,∴四边形OABC为矩形. ∵
OB
OA
+
OC
=(1-2t,2+t), 当1-2t>0,即0<t<
1
2
时, A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,(如图1) 此时BC的方程为:y-2=t(x+2t), 令x=0,得BC交y轴于K(0,2t2+2), ∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3). 当1-2t≤0,即t≥
1
2
时, A在第一象限,B在y轴上或在第二象限,C在第二象限,(如图2) 此时AB的方程为:y-t=−
1
t
(x-1),令x=0,得AB交轴于M(0,t+
1
t
), ∴S(t)=S△OAM=
1
2
(t+
1
t
). ∴S(t)=
2(1−t+t2−t3),(0<t<
1
2
)
1
2
(t+
1
t
),(t≥
1
2
).
(2)当0<t<
1
2
时,S(t)=2(1-t+t2-t3),S′(t)=2(-1+2t-3t2)<0, ∴S(t)在(0,
1
2
)上是减函数. 当t≥
1
2
时,S(t)=
1
2
(t+
1
t
),S′(t)=
1
2
(1−
1
t2
), ∴S(t)在[
1
2
,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. ∴当t=1时,S(t)有最小值为1.
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