在直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2),向量OB=向量OA+向量OC(O是坐标原点),其中t∈(0,+∞)。
解决时间 2021-04-26 05:39
- 提问者网友:饥饿走向夜
- 2021-04-26 01:17
在直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2),向量OB=向量OA+向量OC(O是坐标原点),其中t∈(0,+∞)。
(1)求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t),
(2)确定函数S(t)的单调区间,并求S(t)的最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友:独钓一江月
- 2021-04-26 02:55
(1) OB=OA+OC
B的横坐标和纵坐标分别为1-2t, 2+t, B(1-2t, 2+t)
直线AB的方程为(y-t)/(x-1) = (2+t-t)/(1-2t-1) = -1/t
y = t - (x-1)/t
x = 0, y = t + 1/t
AB与y轴的交点为D(0, t+1/t)
OABC在第一象限部分为三角形OAD,△OAD的面积 = (1/2)OD*OD上的高
= (1/2)(t + 1/t)*A的横坐标
= (t + 1/t)/2
= (t² + 1)/(2t)
全部回答
- 1楼网友:举杯邀酒敬孤独
- 2021-04-26 04:15
解:(1)∵
=
+
,∴OABC为平行四边形,
又∵
•
=0,∴OA⊥OC,∴四边形OABC为矩形.
∵
=
+
=(1-2t,2+t),
当1-2t>0,即0<t<
时,
A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,(如图1)
此时BC的方程为:y-2=t(x+2t),
令x=0,得BC交y轴于K(0,2t
2+2),
∴S(t)=S
OABC-S
△OKC=2(1-t+t
2-t
3).
当1-2t≤0,即t≥
时,
A在第一象限,B在y轴上或在第二象限,C在第二象限,(如图2)
此时AB的方程为:y-t=−
(x-1),令x=0,得AB交轴于M(0,t+
),
∴S(t)=S
△OAM=
(t+
).
∴S(t)=
| 2(1−t+t2−t3),(0<t<) | (t+),(t≥). |
| |
(2)当0<t<
时,S(t)=2(1-t+t
2-t
3),S′(t)=2(-1+2t-3t
2)<0,
∴S(t)在(0,
)上是减函数.
当t≥
时,S(t)=
(t+
),S′(t)=
(1−
),
∴S(t)在[
,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
∴当t=1时,S(t)有最小值为1.
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