已知α、β、γ为n维向量,证明:|α-γ|≤|α-β|+|β-γ|

已知α、β、γ为n维向量,证明:|α-γ|≤|α-β|+|β-γ|

这个是三角形两边之和大于第三边在n维空间的推广
设a = α-β
b=β-γ
那么也就是证明|a|+|b| >= |a+b|
设a=(a1,a2,a3,...,an)
b=(b1,b2,b3,...bn)
那么相当于证明√(a1^2+a2^2+...+an^2) + √(b1^2+b2^2+...+bn^2) >= √((a1+b1)^2+(a2+b2)^2+...+(an+bn)^2)
两边平方得(a1^2+a2^2+...+an^2) + (b1^2+b2^2+...+bn^2) + 2√(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >= (a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + ... + (an+bn)^2
也就是相当于证明(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2
显然最后一个就是柯西不等式，所以原式成立，也就是｜α-γ｜≤｜α-β｜+｜β-γ｜

|a+b|^2=(a+b)*(a+b)=a^2+b^2+2a*b=|a|^2+|b|^2+2|a||b|cosp<=|a|^2+|b|^2+2|a||b|=(|a|+|b|)^2
所以 |a+b|<=|a|+|b|
取a=α-β,b=β-γ,即得所证不等式
其中，a*b表示a和b的内积（或点乘），cosp表示它们夹角的余弦