1+1/2+1/3+.+1/n之和等于多少

1+1/2+1/3+.+1/n之和等于多少

解：
n趋于无穷大时，发散，这个级数叫做调和级数
那么：
调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在,调和级数发散.但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0 所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,它的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数

这是调和级数，没有通项公式，有近似公式 1+1/2+1/3+……+1/n=lnn ln是自然对数， 当n趋于无穷时， 1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+r r为欧拉常数，约为0.5772. 推理查看百科上有，不知道你能不能看懂 1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-...euler(欧拉)在1734年，利用newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的： 根据newton的幂级数有：ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-... 于是： 1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+... 代入x=1,2,...,n，就给出： 1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+... 1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-... ...... 1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+... 相加，就得到： 1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义 1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+r euler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。