多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明：F(X)=0有n+1个不同根，则F(X)恒等于0

多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明：F(X)=0有n+1个不同根，则F(X)恒等于0

F(X)=0有n+1个不同根 设为x0,x1,x2,……，xn
所以有F(x0)=0,F(x1)=0,……，F(xn)=0
即
a0+a1(x0)+a2(x0)^2+...+an(x0)^n=0
a0+a1(x1)+a2(x1)^2+...+an(x1)^n=0
………………………………
a0+a1(xn)+a2(xn)^2+...+an(xn)^n=0
这是一个n+1个方程n+1个未知数的线性方程组 未知数为a0,a1,a2,……，an
系数行列式刚好是范德蒙德行列式D（x0,x1,x2,……，xn）
因根都不同 所以 范德蒙德行列式不为零
由克莱默法则 可知 系数行列式非零 则 方程组仅有零解 所以
a0,a1,a2,……，an都为零
所以F(X)恒等于0

有罗尔定理知f'(x)=0有n个根,f(x)的n阶导数为0有一根，又f(x)的n阶导数为n!an,故an=0,依此类推可知系数全为0，f(x）恒等于0

你好！ 数学里有一条重要定理，叫做“代数基本定理”（Fundamental theorem of algebra），它说的是： 任意一个关于x的n次方程，一定正好有n个根（包括复数根）。 因此，对于F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，有n+1个不同根，那么它一定不是一个n 次多项式，那只能是一个零多项式——也就是说，各项系数均为0！从而，F(x)恒等于0.