抽屉原理的问题（较难）请注备解题答案

抽屉原理的问题（较难）请注备解题答案

一.图形分割
例1.在边长为1的正方形内任意放13个点.证明：必定存在4点，使得以这4点为顶点的四边形面积不超过.
证：如图，将正方形分成4个面积是的矩形，13个点必有4点落在同一个矩形中，其面积不超过.
例2.半径为1的圆内任意放7个点，证明：必有2点，它们间的距离不大于1.
证：如图，将圆分成6个相等的扇形，7点中必有2点落在同一个扇形中，易知它们的距离不大于1.
例3.在3×4的长方形中，任意放6个点. 证明：必有2点，它们间的距离不大于 .
证：如图，将长方形分成5块，6点中必有2点落在同一块中，易知它们的距离不大于 .
二.数的问题
例4.任意给出7个不同整数. 证明：必有2个整数，其和或差是10的倍数.
证：按除以10的余数将整数分成10类，将这10类分成如下6组：{0}（表示除以10余0的所有整数）；{1}、{9}；{2}、{8}；{3}，{7}；{4}，{6}；{5}. 7个数中必有2个来自同一组，若它们同类，则差是10的倍数；若不同类，则和是10的倍数.
例5.证明：存在一个这样的正整数，其各位数码是0或1，并且是1993的倍数.
证明：考虑如下1993个数：10，110，1110，…， . 若其中有数是1993的倍数，则证毕；否则它们除以1993的余数只能是1，2，…，1992，必有两数除以1993余数相同，它们的差是1993的倍数，显然此差的各位数码是0或1.
例6.任意写一个数码由1、2、3组成的30位数，从这个30位数中任意截取相邻的3位数字，可组成一个3位数. 证明：按上述方式一定可以得到两个相同的3位数.
证：一共可截取28个3位数，而数码由1、2、3组成的三位数有33=27个，必有两数相同.
例7.任意给定n+1个小于2n的不同正整数，证明：必可从中选出3个数，使其中两个之和等于第三个.
证：设这n+1个正整数是a0 三.染色问题
例8.对3×7棋盘的每个方格染红蓝两色之一. 证明：存在一个由若干方格构成的矩形，其4个角上的方格同色.
证法一：每一列中2格同色，用一条相同颜色的线段连结这2格的中心，得到7条线段，必有4条同色，设为红色. 由于连线方式只有3种（3格中选两格），必有两条红色线段连线方式相同，其所对应的4格构成4角都是红色的矩形.
证法二：第一行至少有4格同色，不妨设前4格是红色，若第二行前4格中有两格红色，则找到4角同是红色的矩形；否则至少有3格是蓝色，不妨设是前3格. 此时第三行的前3个必有两格同色，若是红色，则其与第一行相同列的两个红格组成4角同是红色的矩形；若是蓝色，则其与第二行相同列的两个蓝格组成4角同是蓝色的矩形.
例9.平面上有6个点，其中任何3点都不共线，任意两点间连一条红色线段或蓝色线段，证明：一定存在一个同色三角形（三边颜色相同的三角形）.
证：由某点A出发的5条线段中必有3条同色，不妨设AB1、AB2、AB3是红色，考虑线段B1B2、B1B3、B2B3，若其中有红色线段BiBj，则△ABiBj是红色三角形；若全是蓝色，则△B1B2B3是蓝色三角形.
评注：如果把点看成元素，染红色看成是元素间有关系A，染蓝色看成是元素间没有关系A，那么本题可表述为：给定6个元素，任意2个元素间或者有关系A或者没有关系A，则一定可以选出3个元素，它们两两间有关系A或者两两间没有关系A.
比如把元素改成人，2个元素间的关系改成彼此认识，则可得到如下有趣命题：
世界上任意选6个人，证明：一定可以从中找出3个人，他们两两认识或两两不认识.
四.“连续”问题
例10.某学生用11个星期做完数学复习题，他每天至少做一道题，每星期至多做12道题. 证明：一定存在连续的若干天，他恰好做了21道题. （教程P295/7）
证：设此学生前i天做xi道题（i=1，2，…，77），则x1 例11.电视机修理部某职工在3月份的31天里，每天至少修理一台，共修56台，证明：他必然在连续的若干天（包括1天）里，恰好了5台电视机. （精讲P167/3）
证：设他前i天修了xi台（i=1，2，…，31），则x1 五、杂题
例12.有12双筷子，其中红色、白色、黑色筷子各4双（同一双筷子的两只筷子同色），从中取出一些筷子，要求有2双不同颜色的筷子，则至少要取出几只筷子？
解：首先取出10只筷子不能保证，比如8只红色2只白色. 其次取出11只筷子能保证，这是因为11只筷子中必有4只同色，设为红色，已有一双红色筷子，由于红色筷子只有8只，故至少有3只筷子是其它二色，又可找到一双同色筷子.
评注：解此类问题一般先通过“最坏”情况找到不能成立的最大数，然后证明此数+1一定满足要求.
例13.甲班有48个同学，每个同学在班级里都有一些朋友（若甲是乙的朋友，则乙也是甲的朋友）. 证明：至少有两名同学，他们在班级里的朋友人数一样多.
证：每个人在班级里的朋友人数只能是0，1，…，47，但0和47不能同时取到，因此必有两人在班级里的朋友人数相同.
例14.围着一张可转动的圆桌，均匀地放8把椅子，在桌上对着椅子放有8人的名片. 8人入座后，发现谁都没有对着自己的名片. 证明：适当地转动桌子，能使至少两人对上自己的名片.
证：每次桌子转动45°，包括开始的位置一共8次，若在这8次中，没有两人或两人以上对着自己的名片，注意到每人在这8次中都有一次对着自己的名片，因此这8次每次恰好只有1人对着自己的名片，但开始时没有人对着自己的名片，矛盾

抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克雷（p.g.dirchlet,1805~1895,德国）原理、重叠原理、鞋盒原理。这一最简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，从小学奥数、中学奥数、imo到putnam都可以见到它的身影。因此，希望大家深刻理解和熟练掌握它。 在国外一般称抽屉原理为鸽笼原理(the pigeon-hole principle),简称php。用通俗的话来说就是，把6个苹果放到5个抽屉里，必定有一个抽屉里至少有2个苹果。 通常有下列几种表达形式： 1。把n+1个元素分为n个集合，那么必定有一集合含有两个或两个以上的元素； 2。把nm+1个元素分为n个集合，那么必定有一集合含有m+1或m+1个以上元素； 3。把n个元素分为k个集合，那么必定有一个集合中元素的个数大于等于[n/k],也必然有一个集合中元素的个数小于等于[n/k]； 4。把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合含有无穷多个元素。 应用抽屉原理解题的基本思想是，利用抽屉原理把范围缩小，使之能在一个特定的小范围内考虑问题，使问题变得简单而明确。根据不同问题的自身特点，洞察问题本质，先要弄清楚对那些元素分类，在找出分类的规律，即进行所谓的构造抽屉。构造抽屉是用抽屉原理解题的关键，也是难点。一般情况是，把图形分成小区域；把集合化成子集组。 在使用抽屉原理时，一般是先确定‘苹果’的数目，再构造出小于‘苹果’数目的抽屉；当构造出来的抽屉不能满足题设要求时，就要挖掘题目的的隐藏条件，使之能顺利运用抽屉原理来解题。余数问题运用抽屉原理的特点是，任意一个整除n被p除时余数有p种情况，从而确定出‘抽屉’.