设a,b,c为正实数,证明ab^2c^3小于等于108((a+b+c)/6)^6

设a,b,c为正实数,证明ab^2c^3小于等于108((a+b+c)/6)^6

设函数f(x，y，z)＝xy∧2z∧3，(x，y，z均大于零)，再设一个边界条件x+y+z≦k，在这个条件下求f的最大值。这时x，y，z的取值区域是个三棱锥，在三棱锥内部得到的f值，总有在x+y+z＝k上的某个点比其大，所以只要求在边界条件x+y+z＝k上f的最大值就可以了。在这个面上f是连续的。当x，y，z任一个为零时，f为零，所以在这面内部一定有一个最大值，此点为驻点。可以做拉格朗日函数L＝f+λ(x+y+z-k)，求偏导令为零得到四个方程:y∧2z∧3+λ＝0，2xyz∧3+λ＝0，3xy∧2z∧2+λ＝0，x+y+z-k＝0。联立求解得x＝k/6，y＝k/3，z＝k/2。此时f＝(k/6)*(k/3)∧2*(k/2)∧3即为108*(k/6)∧6。令k＝a+b+c，则点(a，b，c)在此面上，肯定小于等于此面上的最大值108*(k/6)∧6即108*((a+b+c)/6)∧6，把点带入即证。