SinA+SinB+SinC<2,求证三角形ABC是钝角三角形

SinA+SinB+SinC<2,求证三角形ABC是钝角三角形

在三角形ABC中证明(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2（1+cosAcosBcosC）
由倍角公式：
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=(1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2+(1-cos2C)/2
=3/2-1/2(cos2A+cos2B+cos2C) (对cos2A+cos2B用和差化积公式)
=3/2-1/2(2cos(A+B)cos(A-B)+2(cosC)^2-1)
=2-(cos(A+B)cos(A-B)+(cosC)^2)
=2-(-cos(A-B)cosC+(cosC)^2)
=2-cosC(cosC-cos(A-B)) (再用和差化积公式)
=2+2cosC[sin (C-A+B)/2*sin (C+A-B)/2]
=2+2cosC[sin (180-2A)/2*sin (180-2B)/2]
=2+2cosC[sin(90-A)*sin(90-B)]
=2+2cosCcosAcosB<2
所以钝角三角形

题目应该是在锐角三角形中。
诚如是，则解答如下：
先证明sina+sinb>1+cosc。
由a、b是锐角得a-b<c及b-a<c，可得cos[(a-b)/2]>cos(c/2)。又sin[(a+b)/2]=cos(c/2)，所以sina+sinb-(1+cosc)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]-2cos²(c/2)=2cos(c/2){cos[(a-b)/2]-cos(c/2)}>0，所以sina+sinb>1+cosc。
所以sina+sinb+sinc>1+cosc+sinc=1+√2sin(c+π/4)。
c是锐角，所以π/4<c+π/4<3π/4，sin(c+π/4)>√2/2，1+√2sin(c+π/4)>2。结论成立。