已知实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1,求证a根号bc+b根号ac+c根号ab<=1

已知实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1,求证a根号bc+b根号ac+c根号ab<=1

用反证法.令a√(bc)+b√(ac)+c√(ab)＞1则a√(bc)+b√(ac)+c√(ab)＞ab+bc+ac即(√(bc)-b-c)*(√a)^2+(b√c-c√b)*√a-bc大于0令左式为0,求根,其判别式为-3b^c-3bc^2+6bc√bc≥0即(b√c-c√b)^2≤0显然判别式为0,且有b√c=c√bb=c,再代入有b^2+2ab＜ab+b√(ac)+c√(ab)即(√ab-√b)^2小于0矛盾,因此假设错误,原命题成立.======以下答案可供参考======供参考答案1:楼上的方法很巧妙，但一般不易想到。其实只用一步均值就行了。一步到位：a根bc供参考答案2:因为ab>0,bc>0,ca>0,所以，a,b,c全正或全负，又ab+bc+ca=1>0，所以a,b,c全正，所以a+b>2根号ab设f(根c)=ab+bc+ca-a根号bc+b根号ac+c根号ab,令t=根c,则f(t)=(a+b-根ab)t^2-(a根b+b根a)t + ab,因为a+b>2根号ab，所以a+b-根ab>0，判别式=(a根b+b根a)^2-4aba+b-根ab=3ab(2根ab-a-b)0恒成立,所以1=ab+bc+ca>a根号bc+b根号ac+c，所以a根号bc+b根号ac+c根号ab供参考答案3:因为ab+bc+ac=1所以原式等价于……(题中根号我用#表示）1,当a b c全正时，同除以abc/2,得：2#bc+2#ac+2#ab =1/b+1/c+1/a+1/c+1/a+1/b 根据基本不等式得： 2#bc+2#ac+2#ab因为a,b,c为正，且ab+ac+bc=1所以a b c属于（0，1）所以b+c+a+c+a+b所以a b c均正时，得证。2，当a,b,c均负时，同理可证

这个答案应该是对的