椭圆x^2/3+y^2=1,M(0,-1),是否存在斜率为k的直线l,使l与椭圆交于不同的两点A,B

椭圆x^2/3+y^2=1,M(0,-1),是否存在斜率为k的直线l,使l与椭圆交于不同的两点A,B

设y=kx+b为AB所在直线方程,设A（x1,y1）,B(x2,y2）,AB中点C(x3,y3）则x3=(x1+x2)/2,y3=(y1+y2)/2将直线方程代入椭圆方程,整理得：x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0则x1+x2=-6kb/（1+3k²）,所以x3=-3kb/（1+3k²）y1+y2=k（x1+x2）+2b=[-6k²b/（1+3k²）]+2b,整理得y3=b/（1+3k²）故C（-3kb/（1+3k²）,b/（1+3k²））由于|MA|=|MB|,可知C点在AB的垂直平分线上则Kab*Kcm=-1即k{[b/(1+3k²）]+1}/[-3kb/(1+3k²）]=-1解得b=(3k²+1）/2由于x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0的判别式要大于0则36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）>0整理得3k²-b²+1>0把b²换成[(3k²+1）/2]²整理得3k^4-2k²-1即（3k²+1）（k²-1）显然3k²+1恒大于0,可以约掉,则：k²-1解得k∈（-1,1）

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